Padatrigonometri sudut ganda akan dibahasa beberapa materi yaitu rumus sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. Rumus-rumus tersebut juga akan digunakan sebagai acuan dalam penentuan rumus trigonometri sudut setengah (½α). (cos B sin C + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C ⇒ 4 sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C FungsiDasar Trigonometri sin A = a/c cos A = b/c tan A = sin A/cosA = a/b csc A = 1/sin A = c/a sec A = 1/cos A = c/b cot A = 1/tan A = b/a; Identitas Trigonometri b2 =(c-a cos B) 2 +(a sin B) 2. b 2 =c 2 -2ac cos B+a 2 cos 2 B+a 2 sin 2 B. b 2 =c 2 -2ac cos B+a 2 (cos 2 B+sin 2 B) b 2 =c 2 +a 2 -2ac cos B. Memakai analogi yang sama, kemudian di peroleh aturan cosinus untuk segitiga ABC seperti di bawah ini : a 2 =c 2 +b 2 -2bc cosA. b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB. c 2 =a 2 +b 2 -2ab cosC. Contoh Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd. Rumus Trigonometri Sinus Kosinus Tangen Selamat datang para pecinta Matematrick. Kali ini kita akan belajar tentang materi favorit saya waktu di sekolah, yaitu Materi matematika bab trigonometri. Inti dari trigonometri adalah mempelajari tentang panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga. Munculnya istilah sinus, cosinus dan tangen pun sebenarnya adalah istilah untuk menyatakan perbandingan-perbandingan antar panjang sisi segitiga. Lebih lengkapnya tentang pendahuluan trigonometri bisa anda pelajari di sini Materi matematika trigonometri Berikut ini adalah materi trigonometri lanjutan, sambungan dari materi sebelumnya, yaitu Rumus/Aturan Sinus dan Cosinus A. Rumus Trigonometri Sudut Ganda 1. Rumus Sinus Sudut Ganda Dengan memanfaatkan rumus sin A + B, untuk A = B akan diperoleh sin 2A = sin A + B = sin A cos A + cos A sin A = 2 sin A cos A Sehingga didapat Rumus sin 2A = 2 sin A cos A Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal trigonometri dasar Diketahui sin A = 12/13 , di mana A di kuadran II. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, hitunglah sin 2A. Penyelesaian b. Rumus Cosinus Sudut Ganda Dengan memanfaatkan rumus cos A + B, untuk A = B akan diperoleh cos 2A = cos A + A = cos A cos A – sin A sin A = cos² A – sin² A ……………..1 atau cos 2A = cos² A – sin² A = cos² A – 1 – cos² A = cos² A – 1 + cos² A = 2 cos² A – 1 ……………..2 atau cos 2A = cos² A – sin² A = 1 – sin² A – sin² A = 1 – 2 sin² A …………3 Dari persamaan 1, 2, dan 3 didapat rumus sebagai berikut cos 2A = cos² A – sin² Acos 2A = 2 cos² A – 1cos 2A = 1 – 2 sin² A contoh soal persamaan trigonometri sederhana Diketahui cos A = – 7/25 , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, hitunglah nilai cos 2A. Penyelesaian c. Rumus Tangen Sudut Ganda Dengan memanfaatkan rumus tan A + B, untuk A = B akan diperoleh tan 2A = tan A + A = tan A + tan A/1 - tan A = 2 tan A/1 - tan² A Rumus tan 2A = 2 tan A/1 - tan² A Perhatikan contoh soal berikut ini. contoh soal persamaan trigonometri Jika α sudut lancip dan sin α = 4/5 , hitunglah tan 2α. Penyelesaian B. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus 1. Perkalian Cosinus dan Cosinus Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut cos A + B = cos A cos B – sin A sin B ......... 1 cos A – B = cos A cos B + sin A sin B ......... 2 tambahkan persamaan 1 dan 2 maka akan didapat cos A + B + cos A – B = 2 cos A cos B Rumus 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B Pelajarilah contoh soal berikut untuk lebih memahami rumus perkalian cosinus dan cosinus. Contoh soal perkalian trigonometri Nyatakan 2 cos 75° cos 15° ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan hasilnya. Penyelesaian 2 cos 75° cos 15° = cos 75 + 15° + cos 75 – 15° = cos 90° + cos 60° = 0 + 0,5 = 0,5 2. Perkalian Sinus dan Sinus Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut cos A + B = cos A cos B – sin A sin B ............ 1 cos A – B = cos A cos B + sin A sin B .............2 Kedua ruas dikurangkan, akan didapat cos A + B – cos A –B = –2 sin A sin B atau 2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B Rumus 2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B Sekarang, simaklah contoh soal berikut. Contoh soal persamaan trigonometri sederhana Tentukan nilai x dari persamaan trigonometri berikut 2 sin 75 sin 15 = x. Penyelesaian 2 sin 75 sin 15 = cos 75 – 15 – cos 75 + 15 = cos 60 – cos 90 = 0,5 – 0 = 0,5 Jadi nilai x = 0,5. 3. Perkalian Sinus dan Cosinus Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut. sin A + B = sin A cos B + cos A sin B ............ 1 sin A – B = sin A cos B – cos A sin B ............ 2 dari persamaan 1 dan 2 dijumlahkan akan didapat sin A + B + sin A – B = 2 sin A cos B atau 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B Rumus 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B Perhatikan contoh soal berikut Contoh soal perkalian trigonometri sederhana Nyatakan sin 105° cos 15° ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, kemudian tentukan hasilnya. Penyelesaian C. Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus 1. Rumus Penjumlahan Cosinus Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut. 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B Misalkan Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan. 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B 2 cos 1/2 α + β cos 1/2 α – β = cos α + cos β atau Perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal Sederhanakan cos 100° + cos 20°. Penyelesaian cos 100° + cos 20° = 2 cos 1/2100 + 20° cos 1/2100 – 20° = 2 cos 60° cos 40° = 2 ⋅ 1/2 cos 40° = cos 40° 2. Rumus Pengurangan Cosinus Dari rumus 2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B, dengan memisalkan A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus Perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal Sederhanakan cos 35° – cos 25°. Penyelesaian cos 35° – cos 25° = –2 sin 1/2 35 + 25° sin 1/2 35 – 25° = –2 sin 30° sin 5° = –2 ⋅ 1/2 sin 5° = – sin 5° 3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Dari rumus 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B, dengan memisalkan A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilah penggunaannya dalam contoh soal berikut. Contoh soal Sederhanakan sin 315° – sin 15°. Penyelesaian sin 315° – sin 15° = 2⋅ cos 1/2 315 + 15° ⋅ sin 1/2 315 – 15° = 2⋅ cos 165° ⋅ sin 150° = 2⋅ cos 165 ⋅ 1/2 = cos 165° 4. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen Perhatikan penggunaan rumus penjumlahan pada contoh soal berikut. Contoh soal Tentukan nilai tan 165° + tan 75° Penyelesaian Rumus-Rumus Trigonometri – Dulu kami pernah membuat postingan tentang rumus trigonometri SMA seperti trigonometri sudut ganda, selisih sudut, dan penjumlahan sudut. Kali ini kita akan belajar mengingat kembali apa itu trigonometri dan rumus aturan apa saja yang ada di dalamnya. Buat sebagian sobat hitung di rumah, trigonometri mungkin jadi materi dalam kategori susah dan ngga begitu disukai. Ah, kadang kita tida begitu serius PDKTnya, sehingga kita ngga begitu terasa rasa sukanya. Buat menambah PDKT kita tidak ada salahnya kita simak takjim sajian berikut. Apa itu Trigonometri Kalau sobat ditanya apa itu trigonometri kira-kira mau menjawab apa hayooo. Sobat, ternyata trigonometri berasal dari bahasa yunani “trigonon” yang bermakna segitiga dan “metron” yang berarti pengukuran. Trigonometri muncul di awal abad ke-3 masehi. Ia adalah salah satu cabang dari ilmu hitung matematika yang mempelajari segitiga meliputi semua aturan dalam penghitungan yang melibatkan sisi dan sudut dalam segitiga. Trigonometri terdiri dari sinus sin, cosinus cos, tangen tan, cotangen cot, secan sec, dan cosecan cosec. Untuk lebih memahami definisi trigonometri yuk simak gambar segitiga di bawah ini. Rumus Trigonometri Keterangan Sin α = b/c sisi depan dibagi sisi miring Cos α = a/c sisi samping dibagi sisi miring Tan α = b/a sisi depan dibagi sisi samping Cot α = a/b sisi samping dibagi sisi depan kebalikan dari tangen Sec α = c/a sisi miring dibagi sisi samping kebalikan dari cos Cosec α = c/b sisi miring dibagi sisi depan kebalikan dari sin Nilai Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa Dalam trigonometri ada lima kaya poweranger sudut yang disebut sebagai sudut istimewa yaitu 0o, 30o, 45o, 60o, dan 60o. Penting bagi kita untuk mengetahui besarnya nilai trigonometri sudut-sudut tersebut karena rajin sekali muncul dalam soal ulangan atau ujian nasional. Rangkuman lengkap tentang nilai trigonometri dari sudut tersebut bisa di baca di tabel trigonometri sudut istimewa. Rumus-Rumus Identitas Trigonometri Nah ada istilah baru lagi ni, “identitas trigonometri”. Apa coba itu? Identitas trigonometri adalah sifat unik yang hanya dimiliki oleh trigonometri seperti sifat anomali pada air. Sifat itu hanya miliknya. Kalau dikelompokkan, sifat identitas ini bisa di bagi menjadi 3 kelas. Kelas yang pertama adalah identitas pebandingan, kelas kedua identitas kebalikan, dan yang terakhir identitas phytagoras. Berikur rumus trigonometri tersebut Relasi Sudut dalam Trigonometri Dalam trigonometri, ada relasi atar sudut-sudut. Sudut-sudut di kuadran II 90o-180o, kuadran III 180o-270o dan kuadran IV 270o-360o punya relasi dengan sudut-sudut di kuadran I 0o-90o. Berikut rumus-rumus sudut berelasi dalam trigonometri berikut trik untuk menghapalnya. 1. 180o – α –> Kuadran II sin 180o – α = sin α cos 180o – α = -cosα tan 180o – α = sin α 6. 90o – α –> Kuadran I sin 90o – α = cos α cos 90o – α = sin α tan 90o – α = cot α 2. 180o + α –> Kuadran III sin 180o + α = -sin α cos 180o + α = -cosα tan 180o + α = sin α 7. 90o + α –> Kuadran II sin 90o + α = cos α cos 90o + α = -sin α tan 90o + α = -cot α 3. 360o – α –> Kuadran IV sin 360o – α = -sin α cos 360o – α = cosα tan 360o – α = -sin α 8. 270o – α –> Kuadran III sin 270o – α = -cos α cos 270o – α = -sin α tan 270o – α = cot α 4. 360o + α –> Kuadran I sin 360o + α = sin α cos 360o + α = cosα tan 360o + α = sin α 9. 270o + α –> Kuadran IV sin 270o + α = -cos α cos 270o + α = sin α tan 270o + α = -cot α 5. untuk sudut -α –> Kuadran IV sin -α = -sin α cos -α = cosα tan -α = -sin α Rumus Cepat Rumus Cepat Pola lihat di kanan tanda = Sin → SinCos → CosTan → Tan Pola lihat di kanan tanda = Sin → CosCos → SinTan → Cot Penentuan +/- dilihat dari Kuadran, aturannya yang POSITIFKuadran I = All semuaKuadran II = hanya SIN Kuadran III = hanya TAN Kuadran IV = hanya COS sobat bisa mengingatnya ALL SIN TAN COS Jadi yang perlu sobat lakukan adalah menghafal pola dari sudut istimewa yang kelipatan 180o dan 90o kemudian tentukan hasilnya apakah positif atau negatif dengan menggunkan aturan ALL SIN TAN COS. Contoh soalnya seperti berikut Sobat ditanya berapa nilai sin 120o? sobat dapat menggunakan trik rumus trigonometri di atas. Cara I ingat, 120 = 90 + 30, jadi sin 120o dapat dihitung dengan Sin 120o = Sin 90o + 30o = Cos 30o nilainya positif karena soalnya adalah sin 120o, di kuadran 2, maka hasilnya positif Cos 30o = ½ √3 Cara II sobat bisa juga menggunakan rumus lain untuk soal trigonometri tersebut, 120o nilanya juga sama seperti 180o-80o. Sin 120o = Sin 180o – 60o = sin 60o = ½ √3 sama kan sobat hasilnya, hehehe 😀 Demikian sobat sajian kami tentang rumus trigonometri. Semoga bermanfaat. Untuk materi trigonometeri yang lain seperti grafik dan fungsi trigonometri dan pengukuran sudut akan kita sambung di postingan berikutnya. Selamat belajar. Buat orang tuamu bangga… 😀 As demonstrações de fórmulas e teoremas são fundamentais para que o aluno compreenda o pensamento matemático, os métodos e o rigor exigido, a criatividade, os erros e tentativas presentes na tarefa de demonstrar e provar a veracidade da afirmativa matemática. O que vemos, ainda hoje, é a ideia de que basta o aluno conhecer a fórmula, não é necessário saber por que a fórmula é assim. Naturalmente, essa postura não contribui em nada para fazer com que os estudantes entendam e, consequentemente, aprendam a gostar de matemática. Vejamos uma demonstração da fórmula para sen a + b utilizando o teorema de Ptolomeu. Essa demonstração é perfeitamente compreensível para um aluno do ensino médio. Partiremos da lei dos senos para um triângulo qualquer de lados a, b, c, e ângulos A, B e C, respectivamente. Temos que Sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Dessa forma, em uma circunferência de diâmetro unitário, teremos a = sen A, b = sen B e c = sen C. Assim, podemos interpretar o seno de um ângulo como o comprimento de uma corda definida por ele em uma circunferência de diâmetro unitário. Com essa interpretação, consideremos o quadrilátero ABCD inscrito na circunferência, como mostra a figura pare agora... Tem mais depois da publicidade ; A diagonal AC é um diâmetro da circunferência. A diagonal BD equivale a sen a + b. O teorema de Ptolomeu afirma que, para qualquer quadrilátero inscrito em uma circunferência, tem-se o produto das diagonais igual à soma dos produtos dos lados opostos Da igualdade acima, obtemos Ou Como queríamos demonstrar. Por Marcelo Rigonatto Especialista em Estatística e Modelagem Matemática Equipe Brasil Escola

rumus sin a cos b